매듭 이론 응용과 변환

매듭 이론

매듭 이론 매듭을 수학적으로 연구하는 위상 수학의 한 분야다. 여기서 매듭이란 수학적 용어로, 일상 생활 용어가 아니라 엉키고 두 끝이 있는 끈을 가리킨다. 놀랍게도, 신발 끈은 수학적으로 매듭이 지어지지 않았다.

 

이 끈은 틱이 아닌 것으로 생각되어 끈의 단면이 점이 된다. 따라서 매듭은 우주에서 스스로 만나지 않는 폐곡선이 된다.

매듭이 하나 있을 때, 스스로 만나지 않고 우주에서 끊임없이 변형시켜 만든 새로운 매듭이 원래 매듭과 다를 바 없다고 생각한다. 간단히 말하면 한 매듭을 제대로 변형시켜 다른 매듭으로 만들 수 있다면 두 매듭은 같은 것이라고 한다.

또 이렇게 만들어지는 매듭을 교차로 수로 분류한다. 위의 그림을 참고하자.
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은은 교차하는 세 매듭 중 첫 번째 매듭을 의미한다. 여기서 교차로 수가 같아도 다른 종류의 매듭이 나올 수 있다는 것을 알 수 있다.

매듭 이론 이해를 돕기 위해 아래 사진의 예를 들어줄게. 아래와 같이 매듭을 2차원적으로 표현한 것을 매듭의 이미지라고 한다.

 

매듭 이론에 대한 최초의 관심은 화학에서 시작되었다. 1880년대에 에테르 물질이 공간을 메운다고 믿었고 윌리엄 톰슨 켈빈은 원자가 단지 에테르 구조의 매듭에 불과하다고 가정했다.

 

즉, 다른 매듭 이론 다른 원소에 반응한다.

이러한 가정에 따르면, 일부 수학자와 물리학자들이 원소표를 만들 목적으로 매듭 목록을 만들려고 한 것이 매듭 이론의 시작이었다.

 

이후 미칼슨몰리 실험은 에테르의 존재를 부정하고 보다 정확한 원자구조 모델이 19세기에 등장하여 켈빈의 가설이 틀렸음을 증명했지만

 

수학자들은 매듭과 매듭 이론에 대해 100년 이상 지속적으로 연구되어 왔다.

또한 매듭 이론은 위상 수학의 분야로 분류되어 있는데 위상 수학은 기하학적 물체의 변형에 의해 보존된 성질의 연구 영역임을 상기시켜 주면 쉽게 이해할 수 있다. 매듭의 등가성에 대해 생각해 봅시다.

 

두 줄의 매듭이 있을 때는 같이 각 획의 작은 곡선을 제거한 후 이때 형성된 매듭의 네 끝을 두 개의 곡선으로 연결하여 새로운 매듭을 얻을 수 있다.

 

매듭 이론 이 방법으로 얻은 매듭을 두 노트의 구성이라고 한다.

 

두 매듭을 기호로 J, K라고 하면 J#K로 합성을 나타낸다. 이때 두 영상이 서로 겹치지 않고 합성을 위해 작은 곡선 부분을 선택할 때는 교차점이 포함되지 않도록 투영의 바깥쪽을 선택한다.

또한 네 끝을 두 곡선으로 연결할 때 두 곡선을 만나지 않고 서로 만나지 않도록 선택하십시오.복합 매듭은 공리가 아니라 두 매듭의 조합으로 표현할 수 있는 매듭이다. 

이는 자연수에 있는 합성수의 개념과 유사하며, 1이 아닌 2개의 자연수의 배수로 표현할 수 있는 숫자를 가리킨다. 복합적인 짝을 이루는 매듭을 인자 매듭이라고 한다.

 

느슨한 매듭이 복합체라면 모든 매듭이 합성 매듭이 된다는 다소 난처한 결론이 나온다. 매듭이 풀린 매듭과 합성되면 다시 매듭 자체가 되기 때문에 모든 매듭은 풀린 매듭과 자아의 비자명 요소 매듭이 된다.

매듭 이론 사실 느슨한 매듭은 합성 매듭이 아니다. 느슨한 매듭은 비자 이름의 두 매듭의 조합으로 표현할 수 없다는 얘기다. 이는 자연수 1에 1보다 큰 자연수 2그루를 곱하지 않는 것과 비슷하다.

 

또 자연수의 유일한 소인수 분해인 만큼 합성메이트를 구성하는 유일한 약한 메이트가 결정된다.

그러나 자연수의 계산과 노트의 합성도 차이가 있다. 천연수의 곱셈과는 달리 두 개의 매듭을 합성하는 방법이 하나 이상 있다. 합성을 할 때 각 획의 작은 곡선을 선택해야 하기 때문이다.

 

합성의 결과는 선택 방법에 따라 달라질 수 있는가? 놀랍게도, 합성 결과는 선택에 따라 달라질 수 있다. 즉, J와 K 매듭으로 서로 다른 두 개의 합성 메이트를 만들 수 있다.

우선 매듭을 보기 위해 방향을 정하자. 방향은 매듭을 따라 움직이는 방향을 선택하는 것을 의미한다. 선택한 움직임의 방향에 따라 매듭의 스케치에 화살을 그려 매듭의 방향을 표시한다. 방향이 있는 매듭을 방향 매듭이라고 한다. 여기서 방향이 반대인 매듭을 거울 매듭이라고 한다.

매듭 이론 유양메이트 J와 K의 두 세트를 합성하는 두 가지 방법이 있을 수 있다.

 

J#K에서는 J#K의 방향과 K의 방향이 일치하여 각 매듭의 방향에서 J#K의 방향이 결정되고, J#K에서는 J#K와 K의 방향이 일치하지 않는다. 두 드리프트 메이트의 방향이 일치하도록 작곡할 때, 결과는 항상 동일하다.

방향이 일치하지 않도록 두 매듭을 합성하면 결과는 항상 같지만 방향이 일치하도록 합성물과 다를 수 있다. 먼저 합성의 결과만 나오는 아래의 경우를 살펴보자.

RNA의 DNA 합성 과정에서 이중나선 일부가 방출되고 두 가닥 중 한 가닥만이 복제를 위한 곰팡이가 된다. RNA 합성이 완료되면 DNA는 다시 나선형으로 감겨진다. 그러나 복제나 전사는 단순한 과정이 아니다.

 

DNA가 촘촘히 얽혀 있고 포장돼 있어 유전정보를 압축하고 저장하기 때문이다.

 

매듭 이론 따라서 이 과정은 압축을 푸는 과정이 없으면 원활하게 이루어질 수 없다. 게다가, 복제 과정이 끝나려면, 자손의 DNA 분자는 방출되어야 하고 반면에 부모 DNA 분자는 결국 원래의 구조로 복원되어야 한다.

꼬이고 얽힌 DNA 사슬을 푸는 것은 효소에 의해 이루어진다.

효소는 이 DNA 가닥에서 저 DNA 가닥으로 이동하여 일시적으로 사슬을 끊고 다시 붙인다. 여기서 매듭 이론을 생각해 볼 수 있다.

매듭 이론이라고 불리는 수학자의 난제는 효소의 작용 메커니즘을 결정하기 위해 DNA의 위상 변화를 관찰하는 데 사용된다. 일종의 부산물처럼,

 

DNA 매칭의 교차로 수의 변화로 생물학자들은 효소의 반응도, 또는 주어진 농도의 효소가 분당 얼마나 많은 교차로에 영향을 미치는지 측정할 수 있다.

 

https://blog.naver.com/green03334/221837380018

매듭이론 공부 1(Brunnian 고리)